首先，需要明确的是，原产地证是证明货物原产地的官方文件，用于享受关税减免等优惠。通常，申请原产地证需要出口商具备官方的进出口权，并且需要通过海关报关出口。对于您这种情况，由于企业没有进出口权，并且货物是通过快递寄送，这属于典型的“小包出口”或“无纸化出口”模式。这种模式下，货物通常以个人物品或样品形式发出，不经过传统海关申报流程。

那么，通过寄送快递可以办理原产地证吗？寄送快递办理原产地证在常规操作中是比较困难的。因为办理原产地证的核心依据是海关的出口报关单，而快递出口通常不会生成正式的海关报关单。没有这个关键文件，出口商很难向相关机构提交申请。对于您提到的中韩FTA原产地证，情况同样如此。韩国海关通常要求提供有效的原产地证明文件，而快递出口模式下的文件通常无法满足这一要求。

不过，这并不意味着完全没有办法。您可以考虑以下几种解决方案：寄送快递办理原产地证的替代途径。首先，可以寻找有进出口权的代理公司或报关行。您可以委托他们代为申请，将您的货物信息、快递单号等资料提供给代理，由他们协助办理。其次，需要仔细查阅中韩自由贸易协定（FTA）的具体规定，了解是否有一些针对特定商品或特定出口方式的特殊条款。有时，对于一些特定商品，可能存在简化或替代的证明方式。最后，建议咨询专业的国际贸易顾问，他们可以为您提供更具体的指导，评估您的具体情况是否满足办理条件。

总结来说，对于没有进出口权、通过快递出口的企业来说，直接办理官方原产地证存在较大障碍。最可行的办法是借助有资质的第三方代理机构，或者根据特定协定的特殊规定寻找解决方案。建议您尽快与相关代理或咨询机构联系，获取更详细的信息和操作指南。