是的，外贸公司的工厂在外地完全可以办理产地证。产地证（如菲律宾FORM E）是用于证明货物原产地的官方文件，其申请主体可以是出口商（即贸易公司）或其授权的生产商（即工厂）。由于工厂是实际生产货物的地方，通常被海关视为有资格申请产地证的主体。

对于您的情况，上海注册的贸易公司作为出口商，可以将产地证申请工作委托给其在浙江嘉兴的代工厂。具体流程如下：首先，贸易公司需向工厂提供完整的申请材料。这些资料通常包括：

1. 贸易公司信息：包括公司营业执照、公司名称、注册地址、出口商的税号等。 2. 工厂信息：工厂的营业执照、工厂名称、注册地址、工厂的税号以及工厂的联系方式。 3. 贸易公司与工厂的关系证明：通常需要提供贸易公司与工厂之间的合同或协议，以证明工厂是受委托的生产方。 4. 产品信息：详细的产品描述、HS编码（商品编码）、生产流程说明以及原材料的清单。 5. 其他辅助文件：可能还需要提供出口合同、商业发票、装箱单等，以证明贸易公司是最终的出口商。

工厂收到这些资料后，会向其所在地的海关或指定的产地证申请机构提交申请。一旦申请获批，工厂将获得FORM E产地证。之后，贸易公司可以凭借这份产地证在菲律宾进行清关，以享受可能的关税优惠或满足进口国的法定要求。