在国际贸易中，产地证（通常指 Form A 或 Form F）是证明货物原产地的官方文件，对于进口国海关的关税减免、贸易统计等至关重要。它主要用于证明货物是在特定国家或地区生产或制造的，以享受进口国给予的优惠关税待遇。

通常情况下，产地证是由**出口商**或**发货人**出具的。在您描述的 scenario 中，贸易公司作为最终出口方，是合同中的卖方，因此，产地证应该由贸易公司来办理和出具。工厂作为生产方，提供的是原材料或半成品，其角色更多是作为贸易公司的供应商或制造商。

出口商通常需要在中国商检局（现为国家市场监督管理总局）进行备案，并取得备案号。贸易公司作为出口商，拥有这个备案号，可以合法地申请和出具产地证。而工厂如果尚未在商检局注册备案，则不具备直接申请官方产地证的资格。

鉴于您工厂目前没有在商检局注册备案，您工厂无法直接申请并出具官方的产地证。在这种情况下，您需要考虑以下几种操作方式：

一种可能的操作方式是，由工厂出具一份“厂商声明”或“工厂证明”。这份文件可以证明产品的实际生产地是您的工厂，并可能包含一些关于生产流程、原材料的说明。虽然它不是官方的产地证，但在某些情况下，可以作为辅助文件提供给贸易公司，以支持贸易公司向海关提交的产地证申请。贸易公司可以将其作为内部文件或提供给海关的补充材料。

更常见和直接的解决方案是，由贸易公司直接向商检局申请并出具产地证。贸易公司作为出口商，拥有备案号，可以完全负责整个出口流程，包括产地证的申请。工厂需要向贸易公司提供必要的资料，例如：工厂的详细地址、联系方式、生产设备信息、产品规格、生产流程说明等，以便贸易公司准确填写产地证上的信息。贸易公司会使用其自己的备案号来申请，并将最终签发的产地证发送给工厂或客户。

总结来说，在您这种工厂未备案的情况下，产地证的签发权通常属于贸易公司。工厂无法直接出具官方的产地证。最合理的操作流程是：工厂提供必要的支持文件和信息，由贸易公司作为出口商，使用其备案号，直接向商检局申请并办理出口到澳大利亚的产地证。如果贸易公司确实无法办理，可能需要考虑寻找其他有资质的代理机构，但这会增加额外的成本和复杂性。