福建工厂的客户在货物已空运出口后，突然要求提供原产地证明书，这是一个常见问题。虽然原产地证通常在出口前办理，但在特定情况下，货物已发出后仍有可能补办。原产地证是证明货物原产地的官方文件，对进口清关至关重要。

客户要求提供原产地证，通常是因为它对进口清关至关重要。可能的原因包括：客户需要用于向秘鲁海关申报进口，或者客户将原产地证用于申请政府补贴、税收优惠，或进行贸易统计。这表明客户需要明确证明货物原产于中国（福建）。

在货物已空运出口后，理论上仍有可能办理原产地证，这通常被称为“补办”或“补发”。具体流程可能如下：首先，需要联系中国（福建）的检验检疫机构（如CCIC或CIQ），提交补办申请。通常需要提供相关的出口单据，如提单、发票、装箱单等。补办流程可能比正常申请稍长，并且可能需要支付一定的额外费用。

建议您立即与客户进行沟通，了解他们具体需要原产地证的原因。同时，告知客户补办可能需要额外的时间和费用。为了未来避免此类问题，建议在合同中明确约定原产地证的相关要求，例如是否需要、由谁提供等。