首先，原产地证产品备案是一个针对具体产品进行的官方程序，其核心目的是确保产品符合原产地规则。在您的情况中，海关工作人员要求工厂进行产品备案，这通常是基于一个基本原则：产品的实际生产者或制造商需要向海关提供详细的生产信息。贸易公司，作为中间商，主要负责采购、销售和物流，并不直接参与产品的制造过程。因此，海关可能更倾向于由工厂（即产品的制造商）来办理备案，因为工厂掌握着关于产品成分、生产流程、技术参数等最关键的信息。

简单来说，贸易公司通常不具备为产品办理备案的资质。备案需要工厂提供官方的证明文件，比如生产许可证、质量管理体系认证（如ISO 9001）等，以及详细的产品技术规格。这些信息对于海关核实产品是否真正在原产国生产至关重要。如果贸易公司试图直接办理备案，海关很可能会因为缺乏必要的技术和生产数据而拒绝，并要求工厂补正。

那么，您应该如何处理呢？最合理的做法是积极与工厂沟通，并协助工厂完成备案。您可以向工厂提供贸易合同、订单等文件，作为备案的辅助材料。工厂则需要根据海关的要求，准备并提交完整的备案申请材料。通常，这个过程需要工厂的出口商（即贸易公司）和制造商共同配合，确保所有信息准确无误。请务必提醒工厂，及时完成备案可以避免后续在办理FORM E原产地证时产生不必要的延误。