您目前面临一个典型的国际贸易操作中的细节问题。核心在于客户对FORM E产地证第13栏“第三方发票”的严格要求，以及代理关于大陆公司与离岸公司在该栏操作上的不同解释。这确实是一个需要仔细分析并寻找折中方案的关键点。

首先，FORM E产地证的第13栏通常用于标识发票的来源。如果客户明确要求“第三方发票”，这可能意味着他们需要的是由第三方（如供应商或物流商）出具的发票，而不是由您公司直接开具。然而，对于您公司作为出口商的情况，通常发票是由您公司开具的。这可能导致代理认为，在货描下显示大陆公司抬头时，第13栏打勾与实际业务不符，从而无法正常使用。而如果货描下显示的是离岸公司，可能其税务或法律结构允许更灵活地处理发票来源。

针对您的情况，建议您采取以下步骤来解决问题：

1. **与客户再次沟通：** 尝试向客户解释，作为大陆出口商，在货描下显示公司抬头时，第13栏打勾“第三方发票”可能不符合官方规定或导致产地证无效。可以询问客户是否理解“第三方发票”的真正含义，或者是否可以接受在发票上注明“由出口商开具”并附上相关说明，以证明其合法性。

2. **与代理深入探讨：** 请代理提供关于大陆公司第13栏不能打勾的具体官方依据或案例。如果代理的说法缺乏权威支持，可以要求其提供解决方案或替代方案。例如，是否可以修改发票抬头或内容，以符合第13栏的要求？

3. **考虑调整操作方式：** 如果客户坚持要求第13栏打勾，并且代理明确表示货描下的大陆公司无法实现，那么可能需要考虑是否在货描下使用离岸公司抬头。但这需要评估是否符合公司的业务模式和客户要求，并可能涉及额外的税务或法律风险。在做出决定前，务必评估利弊。

总而言之，关键在于明确客户对“第三方发票”的具体需求，并确保FORM E产地证上的信息与实际业务操作完全一致。通过专业的沟通和细致的审查，通常可以找到符合各方要求的解决方案。建议优先通过正式渠道（如咨询当地海关或FORM E官方机构）获取最权威的解释，以避免后续的合规风险。