对于出口韩国而言，原产地证是一个至关重要的文件。它不仅用于证明货物的来源地，更是韩国海关进行关税计算、实施贸易政策以及进行贸易统计的基础。在很多情况下，特别是当进口商需要享受特定国家的关税优惠时，原产地证是必须提供的。

通常来说，出口韩国是否需要提供原产地证，取决于具体的商品类别、进口商的申请以及韩国的贸易政策。对于绝大多数普通商品，尤其是需要享受最惠国待遇的商品，原产地证是海关清关的必备文件。如果货物属于特定关税协定下的商品，原产地证更是不可或缺，因为它是享受低关税或免税待遇的凭证。

现在您遇到的情况是货物已经发运，而客户才提出要求。这确实比较棘手。由于货物已经离开港口，在韩国境内重新开具原产地证几乎是不可能的，因为原产地证通常需要在出口国（即您的所在地）由相关机构签发。在运输途中，您也无法修改或补充任何文件。在这种情况下，您最直接的做法是立即与韩国客户进行沟通。解释您的具体情况，并询问他们是否可以接受其他形式的证明，或者是否可以延迟提供原产地证。有些时候，进口商可能会因为时间紧迫而提出要求，但通常他们也会理解实际操作中的困难。

总结来说，出口韩国提供原产地证通常是必须的。如果货物已经发出，您应立即与客户协商，说明情况，并探讨解决方案。最好的办法是主动沟通，争取客户的理解，并尝试寻找替代方案。这不仅能解决当前的危机，也能维护与客户的关系。