首先，需要明确的是，对于出口至韩国的自由贸易协定（FTA）原产地证，通常情况下，其签发机构为贸促会（中国国际商会，CCPIT）。贸促会作为国家授权的机构，负责签发符合韩国等贸易伙伴国要求的特定格式原产地证。因此，您提到的客户需要贸促会签发的原产地证，是有其依据的。

您提到的“在贸促会没有备案过”这一点，是关键。根据规定，企业若要获得签发特定国家（如韩国）的FTA原产地证的资格，通常需要先向贸促会进行备案或登记。只有完成备案的企业，才能在贸促会系统内申请并签发相应的原产地证。由于您目前没有完成这一备案程序，贸促会无法为您直接出具所需的FTA原产地证。

那么，商检局（即出入境检验检疫局）是否可以办理呢？通常情况下，商检局主要负责签发用于一般贸易的“一般原产地证”（如Form A或Form E）。对于涉及特定贸易协定的原产地证，特别是当进口国（如韩国）有特殊格式或要求时，这些由商检局签发的一般原产地证可能不被直接认可。因此，即便您在商检局已经办理了原产地证，在出口韩国时，客户可能仍会要求您提供由贸促会签发的、符合韩国FTA要求的特定原产地证。

综上所述，出口韩国的FTA原产地证，原则上需要由贸促会出具。您当前的情况是由于未完成备案，导致无法在贸促会申请。如果您的客户坚持要求，您可能需要先联系贸促会，了解如何进行企业备案，或者考虑将货物出口到其他国家，以使用商检局签发的一般原产地证。不过，这需要根据您与客户的合同条款以及韩国海关的具体规定来最终决定。